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<!DOCTYPE html>

<title>Silberner Schnitt</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Silberner Schnitt</h1>

</header>

</div>

Der Silberne Schnitt (angelehnt an die Bezeichnung <a href="Goldener_Schnitt" title="Goldener Schnitt">Goldener Schnitt</a>) ist das Teilungsverhältnis einer Strecke (Länge) oder anderen Größe (Bereich), bei dem das Verhältnis der Summe des verdoppelten größeren und des kleineren Teils zum größeren Teil gleich dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil ist. Dieses Teilungsverhältnis erhält man z. B. bei einer <a href="Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal" title="Konstruktion mit Zirkel und Lineal">Konstruktion mit Zirkel und Lineal</a> mithilfe eines halben <a href="Achteck" title="Achteck">Achtecks</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition_und_Eigenschaften">Definition und Eigenschaften</h2></div>

Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> als größerem und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> als kleinerem Teil sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta _{S}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec9252698b16f88d1a10a538d3777c6e4c3a95c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.325ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}}" loading="lazy"> als Silbernem Schnitt gilt:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=:\delta _{S}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0612c13c350906b9c6664088c95e1f2d7848fc4e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:18.301ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=:\delta _{S}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Silberne Schnitt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta _{S}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec9252698b16f88d1a10a538d3777c6e4c3a95c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.325ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}}" loading="lazy"> erfüllt daher die Gleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}={\frac {1}{\delta _{S}}}+2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7583657b6df077783919eb7a78db1af13ce4fe4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.587ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}={\frac {1}{\delta _{S}}}+2}" loading="lazy"></dd></dl>

oder umgeformt ergibt die <a href="Quadratische_Gleichung" title="Quadratische Gleichung">quadratische Gleichung</a>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}^{2}-2\delta _{S}-1=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39c29b838bf91992691495c239f531f9bb6df1a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.916ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}^{2}-2\delta _{S}-1=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta _{S}>1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bdb8491f07e00f445ae07181a1fe005459f65b17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.586ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}>1}" loading="lazy"> folgt daraus

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}=2{,}414213\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67ced5a8f5d03f07c195bcacdf952872a03bb89b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:27.517ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}=2{,}414213\ldots }" loading="lazy">.</dd></dl>

Goldener und Silberner Schnitt lassen sich durch die Funktion

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\frac {x}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/292f43230cb03f3c99a59431ec5d3775c7ba3c4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.844ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\frac {x}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+1}}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-1">[1]</a></dd></dl>

darstellen, wobei der Goldene Schnitt Funktionswert für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee42176e76ae6b56d68c42ced807e08b962a2b54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=1}" loading="lazy">, der Silberne Schnitt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f39b6e42e5ffb81ac7b051b9e48b9a91d0713c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=2}" loading="lazy"> ist.

Der Silberne Schnitt lässt sich auch durch <a href="Trigonometrische_Funktion" title="Trigonometrische Funktion">trigonometrische Funktionen</a> ausdrücken und ist mit dem Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi /8=22{,}5^{\circ }}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi /8=22{,}5^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7758c5aaf34ca89ce8aba388859ca0b62ad305fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.944ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi /8=22{,}5^{\circ }}" loading="lazy"> verbunden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}=\cot {\frac {1}{8}}\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06ea7133bfb0bf262727dbb230ddcbf4357bf897.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.24ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}=\cot {\frac {1}{8}}\pi }" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}=\tan {\frac {3}{8}}\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e62886900a9d0f86b8e9ae24247c781a582d7d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.501ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}=\tan {\frac {3}{8}}\pi }" loading="lazy"></dd></dl>

Zudem besitzt der Silberne Schnitt ähnlich wie der Goldene Schnitt eine besonders einfache Darstellung als <a href="Kettenbruch" title="Kettenbruch">Kettenbruch</a>:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mpadded>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

</mpadded>

<mfrac>

<mrow>

</mpadded>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

</mpadded>

<mfrac>

<mrow>

</mpadded>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

</mpadded>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}=[2;2,2,2,\dotsc ]=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\dotsb }}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3229bb5afa8fbe335a0ca130035768c55a7033cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.171ex; width:42.567ex; height:14.343ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}=[2;2,2,2,\dotsc ]=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\dotsb }}}}}}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-2">[2]</a></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konstruktion">Konstruktion</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ausgangssituation">Ausgangssituation</h3></div>

Ausgehend vom <a href="Achteck" title="Achteck">regelmäßigen Achteck</a> mit einer Seitenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{0}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{0}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e891f2e26ca623a2f9bbd0bfef87a4dfac0a20f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.313ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b_{0}=1}" loading="lazy"> soll die folgende Beschreibung zur nebenstehenden Konstruktion die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Silbernen Schnittes verdeutlichen.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<ul><li>Die geometrische Herleitung des Zahlenwertes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d6647fc0b70302f56dbc87eaf718dc3832ba161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.101ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta _{S}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec9252698b16f88d1a10a538d3777c6e4c3a95c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.325ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}}" loading="lazy"> mit <a href="Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal" title="Konstruktion mit Zirkel und Lineal">Zirkel und Lineal</a> entsteht im Verlauf der Konstruktion. Sie erweist sich als praktikable Alternative zur rechnerischen Herleitung.</li></ul>

Zuerst wird nach dem Errichten einer <a href="Orthogonalit%C3%A4t" title="Orthogonalität">Senkrechten</a> auf eine <a href="Gerade" title="Gerade">Gerade</a>, jeweils ab dem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, um dem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ein Viertelkreis mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e6584ba3b7843583b757896c2f0686efc0489e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=1}" loading="lazy"> gezeichnet, damit ergeben sich die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy">. Halbiert man nun den <a href="Rechter_Winkel" title="Rechter Winkel">rechten Winkel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CAD}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CAD}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e797f52147c217a7a0003f0825a5b6c2344eae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.434ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle CAD}" loading="lazy">, ergeben sich der Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 45^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 45^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c28223ddedeb94a84bb15474cc64b5ce436cbe50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 45^{\circ }}" loading="lazy">, der Schnittpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> und somit als Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AE}},}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AE}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0dd42126be83999ab4ccf57f3ef3b3597d8e814f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.32ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AE}},}" loading="lazy"> die erste Seite des halben Achtecks. Es folgt ein <a href="Kreisbogen" title="Kreisbogen">Kreisbogen</a> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AE}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AE}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40c489234007099c91162b222a127b04f2ba081e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.673ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AE}}}" loading="lazy"> um den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> und eine <a href="Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">Parallele</a> zur Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AC}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AC}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea69bf8ccc972402f794c261e00b222f396bcce3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.692ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AC}}}" loading="lazy"> ab <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">; beide schneiden sich in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> und bilden somit als Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {EF}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {EF}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffbf51f9daaa4ee57451139d9df3d4831e89d8e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.791ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {EF}}}" loading="lazy"> die zweite Seite des halben Achtecks. Um den Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> des halben Achtecks zu erhalten, konstruiert man die zwei Mittelsenkrechten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ms_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ms_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9cee9536d074e055fb38ad7a5ee18ffcd7203a42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.587ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Ms_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ms_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ms_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e2824d051e7b88d3147e756360b586b1d76bf6d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.587ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Ms_{2}}" loading="lazy"> der beiden Achteckseiten. Anschließend werden durch den Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> die Mittelachse parallel zur Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AC}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AC}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea69bf8ccc972402f794c261e00b222f396bcce3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.692ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AC}}}" loading="lazy"> und um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> der Halbkreis mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AM}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AM}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d7eb439c684f834b888889c225e86d48bebee35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.423ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AM}}}" loading="lazy"> gezeichnet. Es ergibt sich der Schnittpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> und somit als Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {FH}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {FH}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd090cb8cb45f2dd074fa6ea4d1f9d36db9fd04c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.005ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {FH}}}" loading="lazy"> die dritte Seite des halben Achtecks. Die Verbindungen der Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> mit dem Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ergeben den Schnittpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> sowie den <a href="Zentriwinkel" class="mw-redirect" title="Zentriwinkel">Zentriwinkel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 45^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 45^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c28223ddedeb94a84bb15474cc64b5ce436cbe50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 45^{\circ }}" loading="lazy"> der Achteckseite. Um das halbe Achteck fertigzustellen, bedarf es noch zweier Senkrechten zur Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AH}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AH}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f96badf8bcf8981d55ebf48547fe6f20877478a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.008ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AH}}}" loading="lazy">, jeweils ab den Punkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> bis auf die Mittelachse. Dabei ergeben sich schließlich die beiden Schnittpunkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy">.

Die Seite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {EM}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {EM}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1365e74d7cbe07c2a5ea5d5a3ddf95b14b031e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.455ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {EM}}}" loading="lazy"> des Dreiecks <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle MFE}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle MFE}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38624c9ea9edb42b801f72b7f9addacffbe7e9c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.959ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle MFE}" loading="lazy"> schneidet die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy">, deren Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}" loading="lazy"> entspricht, im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> und teilt sie dort im Verhältnis des Silbernen Schnittes.

Das Ergebnis zeigt, dass jede der beiden Strecken <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AH}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AH}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f96badf8bcf8981d55ebf48547fe6f20877478a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.008ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AH}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {IJ}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {IJ}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11cba6bea54d4e5c77ff5b03c10d54f84a5f2829.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.876ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {IJ}}}" loading="lazy"> die Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}-1+1=1+{\sqrt {2}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}-1+1=1+{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ff13be0437a1b2429d43032d906f048816595f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.307ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}-1+1=1+{\sqrt {2}}}" loading="lazy"> hat.

Setzt man in die allgemeinen Formel für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta _{S}={\frac {a}{b}}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}={\frac {a}{b}}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3b181ed0d6b1cd526d7ef40afe6560f1573350a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.708ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}={\frac {a}{b}}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}}" loading="lazy"> ergibt sich

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {IJ}}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}={\frac {1+{\sqrt {2}}}{1}}=1+{\sqrt {2}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d20934725a7ea2bbe3c811abbff527591c4bd13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:30.977ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {IJ}}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}={\frac {1+{\sqrt {2}}}{1}}=1+{\sqrt {2}},}" loading="lazy"> daraus folgt</dd>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {IJ}}=\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414\,213\,562.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a7afaeaf3238456eeb3603c1701759a0a208699.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:35.29ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {IJ}}=\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414\,213\,562.}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li>In Worten, die Länge der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {IJ}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {IJ}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11cba6bea54d4e5c77ff5b03c10d54f84a5f2829.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.876ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {IJ}}}" loading="lazy"> entspricht dem Zahlenwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \approx 2{,}414\,213\,562.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \approx 2{,}414\,213\,562.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98c3fde3fbd6a0b56a1f177e204af4745efbdfcb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.146ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \approx 2{,}414\,213\,562.}" loading="lazy"></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Innere_Teilung">Innere Teilung</h3></div>

Für die innere Teilung der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy"> im Verhältnis des Silbernen Schnittes sind aus der Zeichnung des halben regelmäßigen Achtecks prinzipiell folgende Konstruktionselemente ableitbar:

<ul><li>Grünes Dreieck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ACE}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ACE}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0762e89c07a9077b9cc619af2a4ecfc1c1bcd9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.285ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ACE}" loading="lazy"></li>

<li>Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy"></li>

<li>Kreisbogen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CED}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CED}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f0ea45278f7240bce88112dd0ef1f60f9ca21d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.466ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle CED}" loading="lazy"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, erzeugt Teilungspunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></li></ul>

Zu Beginn wird die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy"> halbiert, es ergibt sich der Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">. Anschließend zieht man den Halbkreis mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {GA}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {GA}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca531bb110a803670c177a76f584665a64cd9866.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.685ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {GA}}}" loading="lazy"> um den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">. Es folgt eine Senkrechte auf die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy"> durch den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">, dabei ergibt sich der Schnittpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> mit dem Halbkreis. Der abschließende Kreisbogen um den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AE}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AE}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40c489234007099c91162b222a127b04f2ba081e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.673ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AE}}}" loading="lazy"> teilt in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy"> im Verhältnis des Silbernen Schnittes mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> als größerem und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> als kleinerem Teil.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Äußere_Teilung">Äußere Teilung</h3></div>

Ähnlich wie der Goldene Schnitt ist auch der Silberne Schnitt mit einer äußeren Teilung, durch eine Verlängerung der vorgegebenen Strecke, konstruierbar.

Für die äußere Teilung der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy"> im Verhältnis des Silbernen Schnittes sind aus der Zeichnung des halben regelmäßigen Achtecks prinzipiell folgende Konstruktionselemente ableitbar:

<ul><li>Grünes Dreieck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ACE}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ACE}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0762e89c07a9077b9cc619af2a4ecfc1c1bcd9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.285ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ACE}" loading="lazy"></li>

<li>Kreisbogen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CED}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CED}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f0ea45278f7240bce88112dd0ef1f60f9ca21d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.466ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle CED}" loading="lazy"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></li>

<li>Kreisbogen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABF}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABF}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ab4206ccebab893d559a079893bad0d2a2f0fc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.248ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABF}" loading="lazy"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">, erzeugt die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy"></li></ul>

Es beginnt mit der Konstruktion eines <a href="Rechter_Winkel#Konstruktion_zeichnerisch" title="Rechter Winkel">rechten Winkels</a> (einer <a href="Orthogonalit%C3%A4t" title="Orthogonalität">Senkrechten</a>) auf der vorgegebenen Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AC}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AC}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea69bf8ccc972402f794c261e00b222f396bcce3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.692ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AC}}}" loading="lazy"> im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">. Anschließend wird um den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, ab dem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy">, ein Viertelkreis bis zur Senkrechten gezeichnet, es ergibt sich der Schnittpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy">. Nun folgt die Halbierung des rechten Winkels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CAD}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CAD}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e797f52147c217a7a0003f0825a5b6c2344eae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.434ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle CAD}" loading="lazy">, dabei ergeben sich der Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 45^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 45^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c28223ddedeb94a84bb15474cc64b5ce436cbe50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 45^{\circ }}" loading="lazy"> und der Schnittpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">. Weiter geht es mit der Verlängerung der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AC}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AC}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea69bf8ccc972402f794c261e00b222f396bcce3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.692ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AC}}}" loading="lazy"> ab dem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> um etwa die Hälfte der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AC}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AC}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea69bf8ccc972402f794c261e00b222f396bcce3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.692ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AC}}}" loading="lazy">. Der abschließende Kreisbogen um den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AE}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AE}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40c489234007099c91162b222a127b04f2ba081e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.673ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AE}}}" loading="lazy"> verlängert die vorgegebene Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AC}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AC}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea69bf8ccc972402f794c261e00b222f396bcce3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.692ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AC}}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> um die Länge der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {CB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {CB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/336c1ad696ea9a149d450951c14e36799cd45b31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.645ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {CB}}}" loading="lazy">. Somit ist die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy"> geteilt im Verhältnis des Silbernen Schnittes mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> als größerem und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> als kleinerem Teil.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Silbernes_Rechteck">Silbernes Rechteck</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konstruktionen_und_grundlegende_Eigenschaften">Konstruktionen und grundlegende Eigenschaften</h3></div>

Ein <a href="Rechteck" title="Rechteck">Rechteck</a> mit den Seitenlängen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b<a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b<a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec536027666ac731c00e6db3a3b0b10d7ebbe031.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b<a}" loading="lazy"> heißt Silbernes Rechteck, wenn der Quotient der Seitenlängen gerade der Silberne Schnitt ist:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}=1+{\sqrt {2}}=\delta _{S}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f989cb1bdf991b47a608902ad11884c3e0565e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:28.725ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}=1+{\sqrt {2}}=\delta _{S}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das Silberne Rechteck kann mit <a href="Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal" title="Konstruktion mit Zirkel und Lineal">Zirkel und Lineal</a> konstruiert werden.

Um die beiden Seitenlängen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> zu finden, wird zunächst eine beliebige Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy"> im Verhältnis des Silbernen Schnittes mit einem der beiden oben beschriebenen Verfahren (innere Teilung oder äußere Teilung) geteilt. Die damit ermittelte Seite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> wird nun in die Senkrechte hochgeklappt und anschließend das Silberne Rechteck fertiggestellt.

Die nebenstehende Darstellung (Bild 1) zeigt, der Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy"> teilt jetzt die Seitenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> im Verhältnis des Silbernen Schnittes. Es entstehen dadurch die Seitenlängen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbf42ecda092975c9c69dae84e16182ba5fe2e07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9af2720c91be489f57ecde4bb651b95e113d0144.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.052ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b_{1}}" loading="lazy"> eines weiteren Silbernen Rechtecks, was mit der Konstruktion neuer „Silberner“ Paare <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{2},b_{2}),\ (a_{3},b_{3}),\dotsc }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{2},b_{2}),\ (a_{3},b_{3}),\dotsc }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69007b1ba0057439f33177ca5679000029dd262d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.73ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{2},b_{2}),\ (a_{3},b_{3}),\dotsc }" loading="lazy"> natürlich beliebig weit fortgesetzt werden kann.

Eine weitere – sehr einfache – Möglichkeit ein Silbernes Rechteck mithilfe einer alternativen äußeren Teilung darzustellen, zeigt das nebenstehende Bild 2.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Ausgehend von einem <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABCD}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABCD}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/412b7d8df4db6ca8093d971320c405598c49c339.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.198ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABCD}" loading="lazy"> mit der beliebigen Seitenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.877ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a,}" loading="lazy"> wird z. B. die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {DA}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {DA}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24dcb7f405f932e42f7b8250f3d18c450e21b64a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.782ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {DA}}}" loading="lazy"> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> hinaus verlängert und ein Kreisbogen mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {DB}}=a\cdot {\sqrt {2}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {DB}}=a\cdot {\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f640f3be90d8c81a418e4f0cc5e3a52c9214b477.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.909ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {DB}}=a\cdot {\sqrt {2}}}" loading="lazy"> gezogen, bis dieser die Verlängerung in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> schneidet. Die somit erzeugte Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AE}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AE}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40c489234007099c91162b222a127b04f2ba081e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.673ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AE}}}" loading="lazy"> entspricht der gesuchten Seite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> des Silbernen Rechtecks, denn es gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}={\frac {a}{b}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45f131fd73358efde4e3eb7451f4f3b0be708e5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.136ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}={\frac {a}{b}},}" loading="lazy"></dd></dl>

nach dem Umformen ist

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b={\frac {a}{\delta _{S}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1adc336aa55a864624b62eb21606967e8697d179.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:7.257ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle b={\frac {a}{\delta _{S}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

daraus folgt:

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b={\frac {a}{1+{\sqrt {2}}}}=a\cdot {\sqrt {2}}-a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8aef87fa25ee71e15407175166998f81369b410a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:25.209ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle b={\frac {a}{1+{\sqrt {2}}}}=a\cdot {\sqrt {2}}-a}" loading="lazy"></dd></dl>

Anders als beim Goldenen Schnitt und beim <a href="Goldenes_Rechteck" title="Goldenes Rechteck">Goldenen Rechteck</a> gibt es nur eher wenige Beispiele aus dem Alltag, wo man diesen Quotienten beobachten kann. So gibt es beispielsweise Autos, deren Länge und Breite dem Silbernen Schnitt entsprechen. Eine einfache Möglichkeit, ein Silbernes Rechteck selbst zu erstellen, ist mithilfe eines <a href="ISO_216" class="mw-redirect" title="ISO 216">DIN-A4</a>-Blattes. Dieses hat ein Seitenverhältnis von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be444f49912e515c4e97ce2ec6c0b5a291f8ea91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.198ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}" loading="lazy">, gerade wie das Rechteck CDEF in Bild 2. Durch Abschneiden des Quadrates ABCD bleibt das Silberne Rechteck EFBA zurück; die Quadratecken A und B ergeben sich durch Falten der Seite CD um die Ecke D auf die Seite DE. Durch analoges Abschneiden von zwei Quadraten von einem Silbernen Rechteck bleibt wieder ein Silbernes Rechteck zurück.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Weitere_Eigenschaften">Weitere Eigenschaften</h3></div>

<ul><li>Vier <a href="Kongruenz_(Geometrie)" title="Kongruenz (Geometrie)">kongruente</a> <a href="Gleichschenkliges_Dreieck" title="Gleichschenkliges Dreieck">gleichschenklig</a>-<a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinklige</a> Dreiecke lassen sich so wie in der abgebildeten Figur anordnen.</li></ul>

<dl><dd><a href="O._B._d._A." class="mw-redirect" title="O. B. d. A.">O. B. d. A.</a> habe jede Kathete die Länge 1.</dd>

<dd>Demnach gilt im großen Rechteck

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right):1=\delta _{S}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff23558397a3b702f92c560a71f49d9f90979a02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.754ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right):1=\delta _{S}}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>und im kleinen Rechteck

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1:\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {{\sqrt {2}}+1}{1}}=\delta _{S}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92e05be1df7769d4c481d656012cea76dfc5fe19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:39.825ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle 1:\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {{\sqrt {2}}+1}{1}}=\delta _{S}}" loading="lazy">,</dd></dl></dd>

<dd>also handelt es sich in beiden Fällen um Silberne Rechtecke.</dd></dl>

<ul><li>Wiederholt man das Verfahren mit dem kleineren der beiden Rechtecke und setzt diesen Prozess unendlich fort, so entstehen vier unendliche konvergente Reihen aus ähnlichen gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken, deren Grenzwerte identisch sind und jeweils spiralförmig die gesamte Fläche des großen Rechtecks ausfüllen. Die Flächenmaßzahlen der mittleren Rechtecke konvergieren hierbei gegen Null.</li></ul>

<dl><dd>Jede dieser vier Dreiecksspiralen hat die Flächenmaßzahl

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=1\cdot \left(1+{\sqrt {2}}\right):4={\frac {{\sqrt {2}}+1}{4}}={\frac {\delta _{S}}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05f4fa2172e15e22b998d21995ea5b02f751f57e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:37.309ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle A=1\cdot \left(1+{\sqrt {2}}\right):4={\frac {{\sqrt {2}}+1}{4}}={\frac {\delta _{S}}{4}}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-Walser-5">[5]</a></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Donald B. Coleman: The Silver Ratio: A Vehicle for Generalization. In: The Mathematics Teacher, Vol. 82, No. 1 (Januar 1989), S. 54–59 (<a href="JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jstor.org/stable/27966097">27966097</a>).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://personal.maths.surrey.ac.uk/ext/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html#silver">An Introduction to Continued Fractions. The Silver Means.</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://personal.maths.surrey.ac.uk/ext/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html#CFfib">Continued Fractions and the Fibonacci Numbers.</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://3htam.de/silberne_schnitt.shtml">Der silberne Schnitt.</a> Faltung eines silbernen Vierecks.</li>

<li>Numberphile: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=7lRgeTmxnlg">The Silver Ratio</a> auf <a href="YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, 11. Mai 2018, abgerufen am 19. Januar 2019.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Eric Weisstein: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/SilverRatio.html">Silver Ratio.</a> WolramMathWorld, 11. Januar 2021, abgerufen am 14. Januar 2021.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ASilberner+Schnitt&rft.title=Silver+Ratio&rft.description=Silver+Ratio&rft.identifier=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FSilverRatio.html&rft.creator=Eric+Weisstein&rft.publisher=WolramMathWorld&rft.date=2021-01-11">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Dario Jotanovic: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20210117184955/http://fbmn.h-da.de/~tksprosem/uploads/Main/JotanovicAusarbeitung.pdf">9.1 Silberner Schnitt.</a> In: Der Goldene Schnitt Implementierung mathematischer Algorithmen. Hochschule Darmstadt, S. 27, archiviert vom <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r250917974">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-position:center right!important;background-repeat:no-repeat!important}body.skin-minerva .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/OOjs_UI_icon_external-link-ltr-progressive.svg")!important;background-size:10px!important;padding-right:13px!important}body.skin-timeless .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a,body.skin-monobook .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/MediaWiki_external_link_icon.svg")!important;padding-right:13px!important}body.skin-vector .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/Link.ernal-small-ltr-progressive.svg")!important;background-size:0.857em!important;padding-right:1em!important}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a class="external text" href="https://redirecter.toolforge.org/?url=http%3A%2F%2Ffbmn.h-da.de%2F%7Etksprosem%2Fuploads%2FMain%2FJotanovicAusarbeitung.pdf%23page%3D27%26zoom%3Dauto%2C-17%2C786">Original</a>; abgerufen am 11. Oktober 2022.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ASilberner+Schnitt&rft.title=9.1+Silberner+Schnitt&rft.description=9.1+Silberner+Schnitt&rft.identifier=https%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20210117184955%2Fhttp%3A%2F%2Ffbmn.h-da.de%2F%7Etksprosem%2Fuploads%2FMain%2FJotanovicAusarbeitung.pdf&rft.creator=Dario+Jotanovic&rft.publisher=Hochschule+Darmstadt&rft.source=http://fbmn.h-da.de/~tksprosem/uploads/Main/JotanovicAusarbeitung.pdf#page=27&zoom=auto,-17,786">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Hans Walser: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag83_6/DIN.htm">4.3 Diagonalenschnittwinkel im Silbernen Rechteck, 5. Das regelmäßige Achteck.</a> In: Kolloquium über Mathematik, Informatik und Unterricht. 20. November 2014, abgerufen am 20. Juni 2017.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ASilberner+Schnitt&rft.title=4.3+Diagonalenschnittwinkel+im+Silbernen+Rechteck%2C+5.+Das+regelm%C3%A4%C3%9Fige+Achteck&rft.description=4.3+Diagonalenschnittwinkel+im+Silbernen+Rechteck%2C+5.+Das+regelm%C3%A4%C3%9Fige+Achteck&rft.identifier=http%3A%2F%2Fwww.walser-h-m.ch%2Fhans%2FVortraege%2FVortrag83_6%2FDIN.htm&rft.creator=Hans+Walser&rft.date=2014-11-20">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Hans Walser: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag83_6/DIN.htm">1 Wurzel aus zwei.</a> In: Kolloquium über Mathematik, Informatik und Unterricht. 20. November 2014, abgerufen am 14. Januar 2021.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ASilberner+Schnitt&rft.title=1+Wurzel+aus+zwei&rft.description=1+Wurzel+aus+zwei&rft.identifier=http%3A%2F%2Fwww.walser-h-m.ch%2Fhans%2FVortraege%2FVortrag83_6%2FDIN.htm&rft.creator=Hans+Walser&rft.date=2014-11-20">

</li>

<li id="cite_note-Walser-5"><a href="#cite_ref-Walser_5-0">↑</a> Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, <a href="Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Springer Spektrum</a>, Springer-Verlag GmbH <a href="Berlin" title="Berlin">Berlin</a> 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seiten 77–78

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-11-28" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Silberner_Schnitt&oldid=261935274">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

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</main>

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</body></html>